Question

10．已知关于x的一元二次方程x²-2x+m-1=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）当x₁²+x₂²=6x₁x₂时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程x²-2x+m-1=0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出x₁+x₂，x₁•x₂的值，代入x₁²+x₂²=6x₁x₂求解即可．

解答 解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴△=（-2）²-4（m-1）≥0，
整理得：4-4m+4≥0，
解得：m≤2；
（2）∵x₁+x₂=2，x₁•x₂=m-1，x₁²+x₂²=6x₁x₂，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=6x₁•x₂，
即4=8（m-1），
解得：m=$\frac{3}{2}$．
∵m=$\frac{3}{2}$＜2，
∴符合条件的m的值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．