Question

【题目】如图1，点A、B在直线上，点C、D在直线上，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，

∠EAC+∠ACE=90° .

（1）请判断与的位置关系并说明理由；

（2）如图2，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（不与点C重合）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）∥；（2）①当Q在C点左侧时，∠BAC=∠CQP +∠CPQ，②当Q在C点右侧时，∠CPQ+∠CQP+∠BAC=180°.

【解析】（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，再由∠1+∠2=90°可知∠BAC+∠ACD=180，故可得出结论；

（2）分两种情况讨论：①当Q在C点左侧时；②当Q在C点右侧时．

（1）∥．理由如下：

∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD(已知)，

∴∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2(角平分线的定义)；

又∵∠1+∠2=90°(已知)，

∴∠BAC+∠ACD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=180°（等量代换）

∴∥（同旁内角互补，两直线平行）

（2）①当Q在C点左侧时，过点P作PE∥．

∵∥（已证），

∴PE∥（同平行于一条直线的两直线互相平行），

∴∠1=∠2，(两直线平行，内错角相等)，

∠BAC=∠EPC，(两直线平行，同位角相等)，

又∵∠EPC=∠1+∠CPQ，

∴∠BAC=∠CQP +∠CPQ（等量代换）

②当Q在C点右侧时，过点P作PE∥．

∵∥（已证），

∴PE∥（同平行于一条直线的两直线互相平行），

∴∠1=∠2，∠BAC=∠APE，(两直线平行，内错角相等)，

又∵∠EPC=∠1+∠CPQ，

∠APE+∠EPC=180°（平角定义）

∴∠CPQ+∠CQP+∠BAC=180°．