题目内容


数学课上，李老师出示了如下框中的题目．


小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）       特殊情况•探索结论：当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的

DB大小关系．请你直接写出结论：AE   DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答題目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE    DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由

如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ ABC

的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．


解：（1）答案为：=．

（2）答案为：=．

证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，

∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，

∴AE=AF=EF，

∴AB﹣AE=AC﹣AF，

即BE=CF，

∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

∵ED=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

∴∠BED=∠FCE，

在△DBE和△EFC中

，

∴△DBE≌△EFC（SAS），

∴DB=EF，

∴AE=BD．

（3）解：分为四种情况：

如图：

∵AB=AC=1，AE=2，

∴B是AE的中点，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），

∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，

∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，

即△DEB是直角三角形．

∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），

即CD=1+2=3．

如图2，

过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，

∵等边三角形ABC，EC=ED，

∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN∥EM，

∴△BAN∽△BEM，

∴=，

∵△ABC边长是1，AE=2，

∴=，

∴MN=1，

∴CM=MN﹣CN=1﹣=，

∴CD=2CM=1；

如图3，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，

∴此时不存在EC=ED；

如图4

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，

又∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ECD＞∠EDC，

即此时ED≠EC，

∴此时情况不存在，

答：CD的长是3或1．


练习册系列答案
相关题目

在□ABCD中，∠A=80°,∠B=100°,则∠C等于（ ）

A. 60°     B. 80°         C. 100°            D.120°

如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．

求证：（1）△ABC≌△ADC；  （2）BO＝DO．

 

 如图，点C、F在BE上，∠ 1=∠ 2，BC=EF，请补充条件         ，使⊿ ABC≌⊿ DEF.

 

如图，AB=DC，∠ A=∠D，点M和点N分别是BC、AD的中点.求证：∠ABC=∠DCB.

 

当时，函数的图像大致是（  ）

某市今年预计完成国内生产总值（GDP）达3 466 000 000 000元，用四舍五入法取近似值，精确到10 000 000 000元并用科学记数法表示为         元．

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F.

（1）求证：AE=AF；  （2）求证：CD=2BE+DE.


在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有         （    ）

A．5个          B．4个              C．3个              D．2个

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