Question

16．如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA，又因为AM⊥BE，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，从而求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．
（2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA，再根据已知条件求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA=∠AFO．
在△BOE和△AOF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠AOF}\\{BO=AO}\\{∠BEO=∠AFO}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE=OF．

（2）OE=OF成立．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF=90°，
∠E+∠OBE=90°，
又∵∠MBF=∠OBE，
∴∠F=∠E．
在△BOE和△AOF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠AOF}\\{BO=AO}\\{∠F=∠E}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE=OF．

点评 本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，将待求线段放到两个三角形中，通过证明三角形全等得到对应边相等是解题的关键．