Question

13．已知（m，0），（n，0）是抛物线y=x²-2（a-1）x+a²-1与x轴的两个不同交点．
（1）求a的取值范围；
（2）若（m-1）（n-1）=10，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=4（a-1）²-4（a²-1）＞0，然后解不等式得到a的范围；
（2）根据根与系数的关系得到m+n=2 （a-1）=2a-2，mn=a²-1，则由（m-1）（n-1）=10得到a²-1-（2a-2）+1=a²-2a+2=10，然后解关于a的方程即可得到满足条件的a的值．

解答 解：（1）由题意知△=4（a-1）²-4（a²-1）＞0，
解得a＜1；
（2）∵（m，0），（n，0）是抛物线y=x²-2（a-1）x+a²-1与x轴的两个不同交点，
∴m、n为方程x²-2（a-1）x+a²-1=0的两根，
∴m+n=2 （a-1）=2a-2，mn=a²-1，
∵（m-1）（n-1）=10，
即mn-（m+n）+1=10，
∴a²-1-（2a-2）+1=a²-2a+2=10，
解得a=-2或4（＞1，舍去），
∴a的值是-2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了根与系数的关系．