Question

2．已知，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∠BCD=120°，∠EAF=30°，AE、AF分别交射线DC、射线CB于点E、F．
（1）如图1，求证：EF=DE+BF；
（2）如图2，若BC=DC=6，EF=7，求$\frac{BF}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）延长CD到H点，使DH=BF，连接AH，先证△ADH≌△ABF，再证△HAF≌△FAE即可解决问题．
（2）受（1）中证明的启示，先证出DE=EF+BF，由于CD=CB=6，则CE=BF+1，所示只需求出BF即可．BF在直角三角形ABF中，因此想办法用勾股定理解决问题，这样就需要先用BF表示出AF的平方，于是想到利用具有公共边的“子母型”相似来解决问题．AB是可求的，加上∠EAF=30°，故可延长BF至G，使∠AGF=30°，在FG上取点P构造∠PAF=30°，于是△AFP与△GFA子母型相似，柳暗花明又一村，自然有AF²=FP•FG，设BF为x，列出方程，解之即可，从而CE随之得解．值得一提的是，上述过程中，需证FP=FE，利用全等解决问题．

解答 解：（1）如图1，

延长CD到H点，使DH=BF，连接AH，
∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠ADE+∠ADH=180°，
∴∠ADH=∠B，
∵AD=AB，DH=BF，
∴在△ADH和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DH=BF}\\{∠ADH=∠B}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△ABF（SAS），
∴AH=AF，∠HAD=∠FAB，
∵∠DAB=60°，∠FAE=30°，
∴∠EAB+∠DAF=30°，
∴∠DAF+∠HAD=30°，即∠HAF=30°，
在△HAE和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AF}\\{∠HAE=∠EAF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△HAF≌△FAE（SAS），
∴HE=EF，
∵HE=HD+DE=BF+DE，
∴EF=DE+BF
（2）如图2，

连接AC，在DC上截取DN=BF，
∵AD=AB，CD=CB，AC=AC，
∴△ADC≌△ABC，
∴∠ADC=∠ABC，
∵∠DAB=60°，∠BCD=120°，
∴∠ADC=∠ABC=90°，∠CAD=∠CAB=30°，
∴△ADN≌△ABF，
∴AN=AF，∠FAB=∠DAN，
∵∠FAB+∠BAE=30°，
∴∠DAN+∠BAE=30°，
∴∠NAE=30°=∠FAE，
∴△ANE≌△AFE，
∴NE=EF，∠AEN=∠AEF，
作AM⊥EF于点M，则AM=AD=AB，
∴△AMF≌ABF，
∴∠MFA=∠BFA，
延长BF至G，使AGF=30°，在FG上取点P，使∠PAF=30°，
∵∠MFP=∠CFE，
∴∠AFP=∠AFE，
∴△AFP≌△AFE，且△AFP∽△GFA，
∴FP=FE=7，
∵CB=6，
∴AB=6$\sqrt{3}$，
∴BG=18，
设BF=x，
∵△AFP∽△GFA，
∴AF²=FP•FG=7（18-x）=126-7x，
∵AF²=AB²+BF²，
∴126-7x=108+x²，
解得：x=2，
即BF=2，
∵DE=CD+CE=EF+BF，
∴CE=3，
∴$\frac{BF}{CE}=\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的构造、相似三角形的判定与性质，截长补短技巧的应用，勾股定理等重要知识点和技能．正确地作出辅助线及严密的逻辑分析是关键．