Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC=2，点P在BC上．若点P为BC的中点，则m=AP²+BP•PC的值为4；若BC边上有100个不同的点P₁，P₂，…，P₁₀₀，且m_i=AP_i²+BP_i•P_iC（i=1，2，…，100），则m=m₁+m₂+…+m₁₀₀ 的值为400．

Answer 1

分析 第一个空，由等腰三角形的三线合一性质和勾股定理得出AP²+BP•PC=AB²即可；
第二个空，作AD⊥BC于D．根据勾股定理，得AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，从而求得m_i=AD²+BD²，即可求解．

解答 解：若点P为BC的中点，如图1所示：
AB=AC=2，
∴AP⊥BC，BP=CP，
∴∠APB=90°，
∴AP²+BP•PC=AP²+BP²=AB²=4．
若BC边上有100个不同的点P₁，P₂，…，P₁₀₀，
作AD⊥BC于D，则BC=2BD=2CD，如图2所示．
根据勾股定理，得
AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，
又∵P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，
∴m₁=AD²+BD²=AB²=4，
∴m₁+m₂+…+m₁₀₀=4×100=400．
故答案为：4，400．

点评 此题主要运用了勾股定理和等腰三角形三线合一的性质；作辅助线构造直角三角形是解本题的突破点，另外代入进行整理后代换出PC也是同学们不容易考虑到的．