Question

如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，AB是两圆外公切线，A、B为切点，AB与O₁O₂的延长线交于C点，在AP延长线上有一点E，满足

AP

AB

=

AC

AE

，PE交⊙O₂于D．
（1）求证：AC⊥EC；
（2）求证：PC=EC；
（3）若AP=4，PD=

9

4

，求

BC

EC

的值．

Answer 1

分析：（1）要证明AC⊥EC，即证明∠ACE=90°，可以根据切线的性质，证明∠APB=90°，再证明△APB∽△ACE即可；
（2）要证明PC=EC，即证明∠3=∠E；
（3）求

BC

EC

的值，可以找到它们与已知线段的关系，通过求PB，证明△PBC∽△APC得出．

解答：（1）证明：连接PB，OA，OB，
∵AB为公切线
∴∠1=

1

2

∠O₁，∠2=

1

2

∠PO₂B
∵O₁A∥O₂B
∴∠O₁+∠PO₂B=180°
∴∠1+∠2=90°
∴∠APB=90°
∵

AP

AB

=

AC

AE

，∠1=∠1
∴△APB∽△ACE
∴∠ACE=∠APB=90°
∴AC⊥EC；

（2）证明：∵BP⊥AE于P
∴∠3+∠4=90°
∵AB为公切线
∴O₂B⊥AB于B
∴∠2+∠5=90°
又∵O₂P=O₂B
∴∠4=∠5
∴∠2=∠3
由（1）知△APB∽△ACE
∴∠E=∠2
∴∠3=∠E
∴PC=EC；

（3）解：作内公切线PH，交AB于H，
∴AH=PH=HB
∴∠APB=90°
∴∠DPB=90°
∴DB为⊙O直径
∴DB⊥AB于B
∴Rt△ABD中，BP为斜边AD上的高
∴PB²=AP•DP=4×

9

4

∴PB=3
∵∠DBC=∠APB=90°，∠4=∠5
∴∠DBC+∠5=∠APB+∠C
∴∠PBC=∠APC
又∵∠6=∠6
∴△PBC∽△APC
∴

BC

PC

=

PB

AP

=

3

4

又∵PC=EC
∴

BC

EC

=

3

4

．

点评：本题综合考查了圆与圆的位置关系、圆心角和圆周角的关系、切线的性质、相似三角形的判定和性质等多个知识点．