Question

在市区为了美化环境，准备在一块矩形土地ABCD上修建一个矩形休闲广场EFCG，为了使文物保护区△AKH不被破坏，休闲广场的顶点E不能在文物保护区内，已知AB=50m，AD=40m，AK=15m，AH=10m．
（1）当点E是HK的中点时，休闲广场的面积时多少平方米？
（2）当点E在HK上什么位置时，休闲广场的面积最大？最大面积是多少平方米？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）延长GE，FE交分别AB于点Q，AD于点P，由矩形的性质及三角形中位线的性质就可以得出EQ、EP的值，就可以求出EG、EF的值由矩形的面积公式就可以求出结论；
（2）在Rt△AKH中，由勾股定理可以求出HK的值，设EK为x，就可以表示出EH，由相似三角形的性质就可以表示出EQ、EP，设休闲广场EFCG的面积为S，由矩形的面积表示出S与x的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

解答：解：（1）延长GE，FE交分别AB于点Q，AD于点P，
∵四边形EFCG，四边形ABCD是矩形，
∴EQ∥AH，EP∥AK，
∴△KEQ∽△KHA，△HPE∽△HAK，
∴

EK

HK

=

EQ

HA

，

HE

HK

=

EP

AK

，
∵E是HK的中点，
∴

EK

HK

=

EH

HK

=

1

2

．
∵AK=15m，AH=10m，
∴

EQ

10

=

1

2

，

EP

15

=

1

2

，
∴EQ=5，EP=7.5．
∵AB=50m，AD=40m，
∴EF=42.5，EG=35，
∴休闲广场的面积为：42.5×35=1487.5m²．
答：当点E是HK的中点时，休闲广场的面积是1487.5平方米；
（2）在Rt△AKH中，由勾股定理得，
HK=5

13

m．
设EP为x，则PH=

2

3

x，
∴PA=10-

2

3

x，
∴EF=50-x，EG=（40-10+

2

3

x）=30+

2

3

x，
设休闲广场EFCG的面积为S，由题意，得
S=（50-x）（30+

2

3

x）=-

2

3

（x-

5

2

）²+

9025

6

，
∴a=2.5时，S最大=

9025

6

m²．
∴

2.5

15

=

HE

5 13

，
∴HE=

5 13

6

因此当x=2.5时休闲广场的面积最大，此时即当EH=

5 13

6

时，休闲广场的面积最大．

点评：本题主要考查了二次函数的性质的运用，勾股定理的运用，矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时弄清楚EP，EQ之间的数量关系是解题的关键．