Question

求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．
解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹³，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴
将下式减去上式得，2S-S=2²⁰¹⁴-1
即S=2²⁰¹⁴-1
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³=2²⁰¹⁴-1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2³⁰
（2）1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n为正整数）．

Answer 1

考点：有理数的乘方

专题：阅读型

分析：（1）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2³⁰，然后乘以2，再相减整理计算即可得解；
（2）设S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ，然后乘以3，再相减整理计算即可得解．

解答：解：（1）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2³⁰，
将等式两边同时乘以2得，2S=2+2²+2³+2⁴+…+2³¹，
将下式减去上式得，2S-S=2³¹-1，
即S=2³¹-1；
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2³⁰=2³¹-1；

（2）设S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ，
将等式两边同时乘以3得，3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹，
将下式减去上式得，3S-S=3ⁿ⁺¹-1，
所以，S=

3n+1-1

2

，
即1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ=

3n+1-1

2

．

点评：本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解运算方法是解题的关键．