Question

19．已知：等腰△ABC和等腰△DBA′共顶点B，其中AB=AC=A′B，DB=DA′，N为BC中点，M为A′B中点，将△DBA′绕点B逆时针旋转，连结AD，点Q为AD中点，连接QM，QN．
（1）如图1，当点D落在BC上，BA与BA′重合时，求证：QM=QN；
（2）如图2，当A′、B、C在一条直线上时，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由；
（3）△DBA′从图1位置向图2位置旋转过程中QM与QN是否始终相等？请结合图3说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接BQ，延长BQ到H，使得BQ=QH，连接AH、HC、DH．只要证明四边形ABDH是平行四边形，△AHC≌△HAD，推出AH=HC，再利用三角形中位线定理即可解决问题；
（2）（1）中的结论仍成立．理由梯形的中位线定理即可证明；
（3）结论：△DBA′从图1位置向图2位置旋转过程中QM与QN始终相等．如图3中，连接BQ，延长BQ到H，使得BQ=QH，连接AH、HC、DH、A′H，延长BD交AC于G，设A′D交AB于T．只要证明△A′HD≌△HAC，再利用三角形中位线定理即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，连接BQ，延长BQ到H，使得BQ=QH，连接AH、HC、DH．

∵AQ=QD，BQ=QH，
∴四边形ABDH是平行四边形，
∴AH=BD，AH∥BC，∠AHD=∠ABD，
∴∠HAC=∠ACB=∠ABC，
∴∠AHD=∠HAC，
∵AC=AB=DH，AH=HA，
∴△AHD≌△HAC，
∴HC=AD=BD=AH，
∵BM=AM，BQ=QH，
∴MQ=$\frac{1}{2}$AH，
∵BN=NC，BQ=QH，
∴QN=$\frac{1}{2}$HC，
∵AH=HC，
∴QM=QN．
（2）解：结论：（1）中的结论仍成立．
理由：如图2中，

∵∠ABC=∠DA′B，∠DBA′=∠C，
∴DA′∥AB，BD∥AC，
∵DQ=QA，A′M=MB，BN=NC，
∴QM=$\frac{1}{2}$（A′D+AB），QN=$\frac{1}{2}$（BD+AC），
∵DA′=DB，AB=AC，
∴QM=QN．

（3）结论：△DBA′从图1位置向图2位置旋转过程中QM与QN始终相等．
理由：如图3中，连接BQ，延长BQ到H，使得BQ=QH，连接AH、HC、DH、A′H，延长BD交AC于G，设A′D交AB于T．

∵AQ=QD，BQ=QH，
∴四边形ABDH是平行四边形，
∴AH=BD=DA′，AH∥BD，
∴∠HAC=∠AGB=∠GBC+∠GCB，
∴∠A′DH=∠A′TH=∠A′BT+∠BA′D，
∵∠A′BT=∠GBC，∠BA′D=∠GCB，
∴∠A′DH=∠HAC，
∵AC=AB=DH，AH=BD=A′D，
∴△A′HD≌△HAC，
∴HC=A′H，
∵BM=A′M，BQ=QH，
∴MQ=$\frac{1}{2}$A′H，
∵BN=NC，BQ=QH，
∴QN=$\frac{1}{2}$HC，
∵A′H=HC，
∴QM=QN．

点评 本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理、梯形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．