Question

16．观察下列各式的化简过程（其中a＞2）：
①$\frac{a-2}{\sqrt{a-2}}$=$\frac{（\sqrt{a-2}）^{2}}{\sqrt{a-2}}$=$\sqrt{a-2}$；
②$\frac{a-2}{\sqrt{a}-\sqrt{2}}$=$\frac{（\sqrt{a}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}{\sqrt{a}-\sqrt{2}}$=$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{2}）（\sqrt{a}-\sqrt{2}）}{\sqrt{a}-\sqrt{2}}$=$\sqrt{a}$+$\sqrt{2}$；
③$\frac{a-4}{\sqrt{a}+2}$=$\frac{（\sqrt{a}）^{2}-{2}^{2}}{\sqrt{a}+2}$=$\frac{（\sqrt{a}+2）（\sqrt{a}-2）}{\sqrt{a}+2}$=$\sqrt{a}$-2．
（1）上述各式化简过程的共同特点是：先将分子变形，通过约分．化去分母中的根号．
（2）试用上述方法化去下列各式分母中的根号．
①$\frac{2a+6}{\sqrt{a+3}}$； ②$\frac{a-1}{1+\sqrt{a}}$；  ③$\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$．
（3）你还有别的方法化去上列各式分母中的根号吗？

Answer 1

分析 （1）观察三个化简过程，它们的共同特点是先变形分子，使分子出现含分母的因式，然后约分可化去分母中的根号；
（2）①利用二次根式的性质把a+3写成$\sqrt{x+3}$的平方形式，然后约分即可；、
②③都是利用平方差公式把分子分解，然后约分即可；
（3）利用分式的基本性质，把分子分母都乘以分母的有理化因式可化去分母中的根号．

解答 解：（1）上述各式化简过程的共同特点是：先将分子变形，通过约分．化去分母中的根号；
故答案为分子，分母；
（2）①$\frac{2a+6}{\sqrt{a+3}}$=$\frac{2（a+3）}{\sqrt{a+3}}$=$\frac{2（\sqrt{a+3}）^{2}}{\sqrt{a+3}}$=2$\sqrt{a+3}$；
②$\frac{a-1}{1+\sqrt{a}}$=$\frac{（\sqrt{a}）^{2}-1}{\sqrt{a}+1}$=$\frac{（\sqrt{a}+1）（\sqrt{a}-1）}{\sqrt{a}+1}$=$\sqrt{a}$-1； 
③$\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$=$\frac{（\sqrt{a}）^{2}-（\sqrt{b}）^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$=$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$=$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$；
（3）把分子分母都乘以分母的有理化因式可化去上列各式分母中的根号．

点评 本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去；分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．