Question

8．已知，正方形ABCD，AB=2，点M，N是对角线BD上的两个动点，且MN=$\sqrt{2}$，点P、Q分别是边CD、BC的中点
（1）如图1，连接PN，QM，求证：四边形MQPN是平行四边形
（2）如图2，连接CM，PN，试探究是否存在CM+PN的最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证明四边形MQPN是平行四边形，只要证明MN=PQ，MN∥PQ，根据三角形中位线定理即可解决．
（2）存在，如图作点Q关于BD的对称点H，连接CH与BD交于点M，此时CM+PN最小．可以证明CM+PN=CH，求出CH即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴∠C=90°，BC=CD=AB=2，
∴BD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵BQ=QC，DP=PC，
∴PQ∥BD，PQ=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
∵MN=$\sqrt{2}$，
∴PQ=MN，PQ∥MN，
∴四边形MQPN是平行四边形．
（2）存在，利用如下，
解：如图作点Q关于BD的对称点H，连接CH与BD交于点M，此时CM+PN最小．
由（1）可知四边形MQPN是平行四边形，∴PN=MQ=HM，
∴PN+CM=NM+CM=CH，
根据两点之间线段最短可知PN+CM的最小值=CH，
在RT△BCH中，∵BH=BQ=1，BC=2，
∴HC=$\sqrt{B{H}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴PN+CM的最小值为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查正方形的性质、平行四边形的判定和性质、轴对称等知识，学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．