Question

17．如图，在以AB为直径的⊙O中，过点A作⊙O的切线，点C为切线上一点，连接BC交⊙O于点M，过点M作⊙O的切线交AC于点N，连接ON．
（1）求证：MN=CN；
（2）若AB=2，填空：
①MN的延长线交BA延长线于点E，若ME=$\sqrt{3}$，则AC的长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
②当∠ABC的度数为45°时，四边形OBMN为平行四边形．

Answer 1

分析 （1）如图，连接OM，根据切线的性质得到∠OMN=90°，∠A=90°，根据余角的性质和等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）①解直角三角形得到∠MOE=60°，根据外角的性质得到∠B=30°，于是得到结论；
②根据平行线的判定得到MN∥OB，由AN，MN是⊙O的切线，得到∠MNO=∠ANO，于是得到∠AON=∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOM，推出∠AON=∠B，得到ON∥BC，即可得到结论．

解答 解：（1）如图，连接OM，
∵MN是⊙O的切线，
∴∠OMN=90°，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠A=90°，
∴∠CMN+∠OMB=∠C+∠B=90°，
∵OM=OB，
∴∠OMB=∠B，
∴∠C=∠CMN，
∴MN=CN；
（2）①∵AB=2，
∴OM=1，
∵ME=$\sqrt{3}$，
∴tan∠MOE=$\sqrt{3}$，
∴∠MOE=60°，
∴∠B=30°，
∴AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
②当∠ABC的度数为45°时，四边形OBMN为平行四边形，
理由：∵∠ABC=45°，
∴∠C=45°，
∵CN=NM，
∴∠CMN=45°，
∴∠CNM=90°，
∴MN∥OB，
∵AN，MN是⊙O的切线，
∴∠MNO=∠ANO，
∵∠OMN=∠OAN=90°，
∴∠AON=∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOM，
∵∠B=$\frac{1}{2}∠$AOM，
∴∠AON=∠B，
∴ON∥BC，
∴四边形OBMN为平行四边形．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，45°．

点评 本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．