Question

20．已知四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与BC，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段BC的中点时，线段AE，EF，AF之间存在什么数量关系，并加以说明；
（2）如图2，当点E是线段BC上任意一点时（点E不与点B、C重合），（1）中线段AE，EF，AF之间的数量关系仍成立吗？请给予证明．

Answer 1

分析 （1）连接AC，利用菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，进而可得△ABC，△ADC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，再证明AF⊥CD，根据菱形的高相等可得AE=AF，进而可得AE=EF=AF；
（2）连接AC，证明△BAE≌△CAF可得AE=AF，再由∠EAF=60°，可得AE=EF=AF．

解答 解：（1）结论AE=EF=AF．
理由：如图1中，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAF=∠DAF=30°，
∴AF⊥CD，
∴AE=AF（菱形的高相等），
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF．

（2）证明：（1）中线段AE，EF，AF之间的数量关系仍然成立，即AE=EF=AF，
如图2中，连接AC，
∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{BA=CA}\\{∠B=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴AE=EF=AF．

点评 此题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握菱形四边形相等，掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．