Question

11．如图，已知点A是反比例函数y=$\frac{{\sqrt{6}}}{x}$在第一象限图象上的一个动点，连接OA，以$\sqrt{3}$OA为长，OA为宽作矩形AOCB，且点C在第四象限，随着点A的运动，点C也随之运动，但点C始终在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，则k的值为（　　）

• A． -3$\sqrt{6}$
• B． 3$\sqrt{6}$
• C． -$\sqrt{6}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设A（a，b），则ab=$\sqrt{6}$，分别过A，C作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，根据相似三角形的判定证得△AOE∽△COF，由相似三角形的性质得到OF=$\sqrt{3}$b，CF=$\sqrt{3}$b，则k=-OF•CF=-3$\sqrt{6}$．

解答 解：设A（a，b），
∴OE=a，AE=b，
∵在反比例函数y=$\frac{{\sqrt{6}}}{x}$图象上，
∴ab=$\sqrt{6}$，
分别过A，C作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
∵矩形AOCB，
∴∠AOE+∠COF=90°，
∴∠OAE=∠COF=90°-∠AOE，
∴△AOE∽△COF，
∵OC=$\sqrt{3}$OA，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OF}{AE}$=$\frac{CF}{OE}$=$\sqrt{3}$，
∴OF=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$b，CF=$\sqrt{3}$OE=$\sqrt{3}$b，
∵C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，且点C在第四象限，
∴k=-OF•CF=-$\sqrt{3}$a•$\sqrt{3}$b=-3ab=-3$\sqrt{6}$，
故选A．

点评 本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的几何意义和求法，正确作出辅助线证得△AOE∽△COF是解题的关键，同时注意k的符号．