Question

15．如图为等边三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB，BC上，且BD=BE，若AC=19，GF=6，则点F到AC的距离为$\frac{13}{2}$$\sqrt{3}$-6．

Answer 1

分析 过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，根据等边三角形的性质求出∠A=∠ABC=60°，然后判定△BDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠BDE=60°，然后根据同位角相等，两直线平行求出AC∥DE，再根据正方形的对边平行得到DE∥GF，从而求出AC∥DE∥GF，再根据等边三角形的边与高的关系表示出KH，然后根据平行线间的距离相等即可得解．

解答 解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∴∠A=∠BDE，
∴AC∥DE，
∵四边形DEFG是正方形，GF=6，
∴DE∥GF，
∴AC∥DE∥GF，
∴KH=19×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-6=$\frac{13}{2}$$\sqrt{3}$-6，
∴F点到AC的距离为$\frac{13}{2}$$\sqrt{3}$-6．
故答案为：$\frac{13}{2}$$\sqrt{3}$-6．

点评 本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的高线等于边长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键．