Question

如图，将△ABC绕点C旋转180°，得到△DEC，过点B作AD的平行线，与ED的延长线交于点F．
（1）求证：D是EF的中点；
（2）连接BD，当△ABC满足什么条件时，BD⊥EF？并说明理由．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,旋转的性质

专题：

分析：（1）根据旋转的性质，可得△ABC≌△DEC，根据全等三角形的性质，可得∠B=∠E，AB=DE，根据平行四边形的判定与性质，可得AB与DF的关系，根据等量代换，可得答案；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得AD与BE的关系，根据平行四边形的性质，可得AD与EF的关系，根据线段垂直平分线得判定与性质，可得答案．

解答：（1）证明：∵△ABC绕点C旋转180°，得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴∠B=∠E，AB=DE，
∴AB∥DE．
又∵BF∥AD，
∴ADFB是平行四边形，
∴AB=DF，
∴ED=DF，
即D是EF的中点；
（2）当AC=BC时，BD⊥EF．
证明：∵△ABC≌△DEC，
∴BC=CE，AC=DC．
又∵AC=BC，
∴AD=BE．
∵ADFB是平行四边形，
∴AD=BF，
∴BE=BF．
∵DE=DF，BE=BF，
∴BD是EF的垂直平分线，
∴BD⊥EF．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，旋转的性质，线段垂直平分线的性质．