Question

18．在平面直角坐标系中，A（-3，1），B（$\frac{5}{3}，\frac{17}{3}$），若抛物线y=x²+2mx+m²+$\frac{1}{3}$m与线段AB只有1个公共点，则m的取值范围是-$\frac{13}{3}$＜m＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 求得线段AB的解析式，然后联立方程求得x²+（2m-1）x+m²+$\frac{1}{3}$m-4=0，转化为函数与x轴的关系，令y′=x²+（2m-1）x+m²+$\frac{1}{3}$m-4，结合二次函数图象上点的坐标特征求解即可．

解答 解：根据题意：线段AB：y=x+4（-3≤x≤$\frac{5}{3}$），
与y=x²+2mx+m²+$\frac{1}{3}$m联立得：
x²+（2m-1）x+m²+$\frac{1}{3}$m-4=0，
令y′=x²+（2m-1）x+m²+$\frac{1}{3}$m-4，
若抛物线y=x²+（2m-1）x+m²+$\frac{1}{3}$m-4与线段AB只有1个公共点，
即函数y′在-3≤x≤$\frac{5}{3}$范围内只有一个零点
当x=-3时，y′=m²+$\frac{19}{3}$m+2＜0，
∵△＞0，
∴此种情况不存在，
当x=$\frac{5}{3}$时，y′=m²+$\frac{11}{3}$m-$\frac{26}{9}$＜0，
解得-$\frac{13}{3}$＜m＜$\frac{2}{3}$
故答案为-$\frac{13}{3}$＜m＜$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化思想和数形结合的数学思想．