Question

如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，直线BM⊥BC，点P是线段AB上一动点，过P点作直线PD⊥PC交直线BM于点D，过P点作线段BC的平行线EF交AC于E，交直线BM于F．
（1）△PFB是

 

三角形；
（2）试说明：△CEP≌△PFD；
（3）当点D在线段FB上时，设AE=x，PC²为y，请求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4）当点P在线段AB上移动时，点D也随之在直线BM上移动，则△PBD是否有可能成为等腰三角形？如果能，求出所有能使△PBD成为等腰三角形时的AE的长；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,等腰直角三角形

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）由等腰直角三角形的性质就可以得出∠ABC=45°，进而由∠MBC=90°得出∠PBF=45°，由BC∥EF就可以得出∠BPF=45°，就可以得出PF=BF，∠BFP=90°而得出△PFB是等腰直角三角形；
（2）先由条件可以得出四边形CBFE为矩形，关键矩形的性质就可以得出CE=PF，∠CEP=∠DFP=90°，∠EPC=∠FDP就可以得出△CEP≌△PFD；
（3）先由条件可以得出AE=PE，在Rt△EPC中由勾股定理就可以得出y与x的关系式；
（4）△PBD有可能成为等腰三角形，并且只有PD=BD一种情况．当PD=PB或PB=BD时，P点不在AB上，而在BA的延长线上，就有∠BPD=∠DBP=45°，就可以得出∠CPB=∠A=45°，得出点P与点A重合，就有点A与点E重合，就可以求出AE的值．

解答：解：（1）∵BC⊥BM，
∴∠CBM=90°．
∵EF∥BC  
∴∠EFB=90°
∵等腰Rt△ABC中   AC=BC，∠A=∠ABC=45°
∴∠ABM=45°，
∴△PFB为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
（2）∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC．
∵BM⊥BC，
∴AC∥BM．
∵BC∥EF
∴四边形CBFE为平行四边形．
∵∠ACB=90°
∴平行四边形CBFE为矩形，
∴EC=FB，∠CEP=∠DFP=90°，
∵△PFB为为等腰直角三角形
∴FB=FP
∴EC=FP   
∵PC⊥PD，
∴∠EPC+∠FPD=90°   
∵∠EPC+∠ECP=90°
∴∠ECP=∠FPD
在△EPC和△FDP中

∠CEP=∠DFP EC=FP    ∠ECP=∠FPD

，
∴△EPC≌△FDP（ASA）；
（3）∵∠A=45°，∠AEP=90°，
∴∠APE=45°，
∴∠A=∠APE，
∴AE=PE．
∵AE=x，
∴EP=x   
∴EC=2-x．
在Rt△EPC中由勾股定理，得
PC²=EP²+EC²，
y=x²+（2-x）²
∴y=2x²-4x+4  （0≤x≤2）
（4）解：△PBD可能为等腰三角形，
①当点D在BC上方，且PD=BD时，点P与点A重合∴AE=0
②如备用图，当点D在B点下方，且PB=BD时，
∵AE=PE=x，则PF=2-x，
∴PB=

2

PF=

2

（2-x），
∵PE=DF，
∴x=2-x+

2

（2-x），
解得：x=

2

，
∴AE=

2

．
∴能使△PBD成为等腰三角形时的AE的长为：0或

2

．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，勾股定理的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．