Question

20．在锐角△ABC中，边BC长为18，高AD长为12
（1）如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求$\frac{EF}{AK}$的值；
（2）设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比进行计算即可；
（2）根据EH=KD=x，得出AK=12-x，EF=$\frac{3}{2}$（12-x），再根据S=$\frac{3}{2}$x（12-x）=-$\frac{3}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$，可得当x=1时，S有最大值为$\frac{3}{2}$．

解答 解：（1）∵△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，
∵边BC长为18，高AD长为12，
∴$\frac{EF}{AK}$=$\frac{BC}{AD}$=$\frac{3}{2}$；

（2）∵EH=KD=x，
∴AK=12-x，EF=$\frac{3}{2}$（12-x），
∴S=$\frac{3}{2}$x（12-x）=-$\frac{3}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$，
当x=1时，S有最大值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标．