Question

15．正方形ABCD边长为2$\sqrt{2}$，点E在对角线AC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，连接AF，EF．
（1）证明：AC⊥AF；
（2）设AD²=AE×AC，求证：四边形AEDF是正方形；
（3）当E点运动到什么位置时，四边形AEDF的周长有最小值，最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）由已知条件及正方形的性质易证△CDE≌△ADF，所以可得∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，进而可得∠CAF=90°，即AC⊥AF；
（2）若AD²=AE×AC，再由条件∠CAD=∠EAD=45°，易证△EAD∽△DAC，所以∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，继而证明四边形AEDF为正方形；
（3）当E点运动到AC中点位置时，四边形AEDF的周长有最小值，由（2）得CE=AF，则有AE+AF=AC=2，又DE=DF，所以四边形AEDF的周长l=AE+AF+DE+DF=4+2DE，则DE最小四边形的周长最小，问题得解．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDA=90°，CD=AD，ED=FD，∠CAD=45°，
∵将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，
∴∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠ADF，
在△CDE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=AD}\\{∠CDE=∠ADF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△ADF，
∴∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，
∴∠CAF=90°，
即AC⊥AF；
（2）∵AD²=AE×AC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$
∵∠CAD=∠EAD=45°，
∴△EAD∽△DAC，
∴∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，
∴四边形AEDF为正方形
（3）当E点运动到AC中点位置时，四边形AEDF的周长有最小值，
理由如下：
由（2）得CE=AF，则有AE+AF=AC=4，
又DE=DF，则当DE最小时，四边形AEDF的周长l=AE+AF+DE+DF=4+2DE最小，
当DE⊥AC时，E点运动到AC中点位置时，此时DE=2四边形AEDF的周长最小值为8．

点评 本题属于几何变换综合题的考查，用到的知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及四边形周长最小值的问题、动点问题，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考题压轴题．