Question

4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造?PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（3）在线段PE上取点F，使PF=2，过点F作MN⊥PE，截取FM=$\sqrt{3}$，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．

Answer 1

分析 （1）当C运动到OB的中点时，根据时间t=路程/速度即可求得，进而求得E的坐标；
（2）证明△AOC≌△EPD，则AC=DE，∠CAO=∠DEP，则AC和DE平行且相等，则四边形ADEC为平行四边形；
（3）利用待定系数法求得CE和DE的解析式，然后用t表示出M、N的坐标，代入解析式即可求得t的值．

解答 解：（1）BC=$\frac{1}{2}$OC=3，则$t=\frac{3}{2}$，
OP=$\frac{3}{2}$，则OE=OP+PE=OP+OA=$\frac{3}{2}$+3=$\frac{9}{2}$，
则E的坐标是（$\frac{9}{2}$，0）；
（2）∵四边形PCOD是平行四边形，
∴OC=PD，
在△AOC和△EPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=PE}\\{∠AOC=∠EPD}\\{OC=PD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△EPD，
∴AC=DE，∠CAO=∠DEP，
∴AC∥DE，
∴四边形ADEC是平行四边形；
（3）C的坐标是（0，6-2t），P的坐标是（t，0），则F的坐标是（t+2，0）．，E的坐标是（t+3，0），D的坐标是（t，2t-6）．
设CE的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=6-2t}\\{（t+3）k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6-2t}\\{k=\frac{2t-3}{t+3}}\end{array}\right.$，
则CE的解析式是y=$\frac{2t-3}{t+3}x+（6-2t）$，
同理DE的解析式是y=$\frac{6-2t}{3}x$+$\frac{2（9-{t}^{2}）}{3}$．
当M在CE上时，M的坐标是（t+2，$\sqrt{3}$），
则$\frac{2t-3}{t+3}（t+2）+（6-2t）=\sqrt{3}$，
解得：t=21-12$\sqrt{3}$，或t=1.5．
当N在DE上是，N的坐标是（t+2，-1），则$\frac{6-2t}{3}（t+2）+\frac{2（9-{t}^{2}）}{3}$=-1，
解得：t=3+$\frac{3}{2}\sqrt{3}$或t=9．
总之，${t_1}=21-12\sqrt{3}$，t₂=1.5，${t_3}=3+\frac{3}{2}\sqrt{3}$，t₄=9．

点评 本题考查了平行四边形的判定与待定系数法求函数解析式，正确求得CE和DE的解析式是关键．