Question

10．已知：如图，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作OE⊥CD于点E，且BC=4cm．点P从点B出发，沿折线BO-OE-ED运动，到点D停止．点P在BO上以$\sqrt{2}$cm/s的速度运动，在折线OE-ED上以1cm/s的速度运动．当点P与点B不重合，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边在PQ左侧作矩形PQMN，使MQ=$\frac{3}{2}$PQ，设点P的运动时间为t（s）
（1）点P从点B运动到点O所需的时间为2（s）；
当点P在线段OE上运动时，线段OP的长为t-2（用含t的代数式表示）；
（2）当点N落在AB边上时，则t的值为3或$\frac{14}{3}$；
（3）设矩形PQMN与△BOC重叠部分的面积为S（cm²），请直接写出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（4）在点P、O重合之前的整个运动过程中，作矩形PQMN关于直线PQ的轴对称图形PQM′N′，取CO中点K，是否存在某一时刻，使△PN′K为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得OB的长，则P到O的时间就可求得，进而求得OP的长；
（2）点N在AB上，PQ=2，则PN=QM=$\frac{3}{2}$PQ，据此即可求得；
（3）首先求得P在OE上，且MN在AB上时t的值，以及P在DE上，且MN在AN上时t的值，然后分情况进行讨论即可求解；
（4）过K作KG⊥NP于点G，当PK=KN'时，PG=N'G，从而求得t；当PN'=PK时，利用勾股定理求得PK，然后列方程求得t．

解答 解：（1）OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2$\sqrt{2}$cm，
则点P从点B运动到点O所需的时间是$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2，
则点P在线段OE上运动时，线段OP的长是：t-2．
故答案是2，t-2；
（2）当点N落在AB边上时，P在OE上，则PQ=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$BC=2，
则PN=QM=$\frac{3}{2}$PQ=3=t，
解得：t=3．
当MN在AB上，P在CD上时，$\frac{3}{2}$（t-2）=4，
解得：t=$\frac{14}{3}$．
故答案是：$\frac{14}{3}$或3；
（3）P从B到O的时间是2秒，则BQ=t，
重合部分是△BPQ，则S=$\frac{1}{2}$t²；
当2＜t≤3时，如图2．
S_△OBC=$\frac{1}{4}$×4²=4，QC=4-t，
则S_△QCG=$\frac{1}{2}$（4-t）²，
则S=4-$\frac{1}{2}$（4-t）2=-$\frac{1}{2}$t²+4t-4；
当3＜t≤4时，如图3，
QM=3，BQ=t，
则QC=4-t，则S_△QCG=$\frac{1}{2}$（4-t）2，
BM=t-3，则S_△BMH=$\frac{1}{2}$（t-3）²，
则S=4-$\frac{1}{2}$（4-t）²-$\frac{1}{2}$（t-3）²=-t²+7t-$\frac{17}{2}$；
当P在DE上时，PQ=2+（t-4）=t-2，
当MN在AB上时，$\frac{3}{2}$（t-2）=4，
解得：t=$\frac{14}{3}$．
当4＜t≤$\frac{14}{3}$时，如图4．PC=2+（t-4）=t-2，CM=$\frac{3}{2}$（t-2）．
BM=4-CM=4-$\frac{3}{2}$（t-2）=7-$\frac{3}{2}$t，
则S_△BMH=$\frac{1}{2}$（7-$\frac{3}{2}$t）²=$\frac{1}{8}$（14-3t）²．
则S=4-$\frac{1}{8}$（14-3t）²=-$\frac{9}{8}$t²+$\frac{21}{2}$t-$\frac{41}{2}$；
当$\frac{14}{3}$＜t≤6时，重合部分是S=S_△OBC=4．
（4）过K作KG⊥NP于点G．如图5．
则PN'=$\frac{3}{2}$t，KG=t-1，PG=3-t，GN'=$\frac{3}{2}$t+t-3=$\frac{5}{2}$t-3．
当PK=KN'时，3-t=$\frac{5}{2}$t-3，
解得：t=$\frac{12}{7}$；
在直角△PKG中，PK²=（t-1）²+（3-t）²，
当PN'=PK时，（t-1）²+（3-t）²=（$\frac{3}{2}$t）²，
解得：t=2$\sqrt{74}$-16或-2$\sqrt{74}$-16（舍去）．
在直角△KN'G中，N'K²=（$\frac{5}{2}$t-3）²+（t-1）²，
当N'K=PN'时，（$\frac{5}{2}$t-3）²+（t-1）²=（$\frac{3}{2}$t）²，
解得：t=$\frac{17+\sqrt{89}}{10}$（舍去）或$\frac{17-\sqrt{89}}{10}$．
总之，t=2$\sqrt{74}$-16或$\frac{12}{7}$或$\frac{17-\sqrt{89}}{10}$．

点评 本题考查了正方形的性质和等腰三角形的判定与性质，正确进行讨论是解决本题的关键．