Question

18．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E、F，连结AF、CE．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠EAC=∠ACF，推出△EOA≌△FOC，根据全等三角形的性质得到AE=CF，OE=OF；
（2）先推出四边形AFCE是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACF，
在△EOA和△FOC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠ACF}&{\;}\\{OA=OF}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴AE=CF，OE=OF；
（2）证明：∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．