Question

3．操作实验：如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折折叠后，发现被折叠分成的两个三角形成轴对称，所以△ABO≌△ACD，所以∠B=∠C．

归纳结论：如果一个三角形的两条边相等，那么这两条边所对的角也相等，
根据上述内容：如图（4），在△ABC中，AB=AC，试说明∠B=∠C的理由
探究应用：如图（5），CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AE垂足为A，E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD．
（1）BE与AD是否相等？为什么？
（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由？
（3）∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．
（4）某超市举行有奖促销活动；凡一次性购物满300元者，即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形转盘（如图6所示），被分成16等分，摇中红、黄、蓝色区域，分获一、二、三等奖，奖金一次为60、50、40元，一次性购物满300元者，如果不摇奖可返还现金15元．
①摇奖一次，获一等奖的概率是多少
②若李一次性购物满了300元，他是参与摇奖划算还是领15元现金划算，请你帮他算算．

Answer 1

分析 归纳结论：作等腰三角形底边上的高，构造全等三角形．
探究应用：（1）BE与AD在两个直角三角形中，证这两个直角三角形全等即可；
（2）可证点A，C在线段DE的垂直平分线上．注意结合（1）的结论，利用全等证明即可；
（3）由第二问的垂直平分线的性质，得到CD=CE，由第一问的全等得到DB=CE，那么CD=BD，所以∠DBC=∠DCB；
（4）①找到红色区域的份数占总份数的多少即为获得一等奖的概率，
②游戏是否合算，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．

解答 解：思考验证：

过A点作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴∠B=∠C；

探究应用：

（1）说明：因为BD⊥EC，
∴∠CEB+∠1=90°，
∠1+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠BEC，
在△ADB和△BEC中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠BEC}\\{AB=BC}\\{∠DAB=∠EBC=90°}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△EBC（ASA）．
∴DA=BE．

（2）∵E是AB中点，
∴AE=BE．
∵AD=BE，
∴AE=AD．
在△ABC中，因为AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
∴∠BAC=∠DAC．
在△ADC和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAC=∠EAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AEC（SAS）．
∴DC=CE．
∴C在线段DE的垂直平分线上．
∵AD=AE，
∴A在线段DE的垂直平分线上．
∴AC垂直平分DE．

（3）∵AC是线段DE的垂直平分线，
∴CD=CE．
∵△ADB≌△BEC，
∴DB=CE．
∴CD=BD．
∴∠DBC=∠DCB；

（4）①整个圆周被分成了16份，红色为1份，
∴获得一等奖的概率为：$\frac{1}{16}$，

②转转盘：60×$\frac{1}{16}$+50×$\frac{2}{16}$+40×$\frac{4}{16}$=20元，
∵20元＞15元，
∴转转盘划算．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解本题的关键是作出作∠BAC的角平分线AD判断∠B=∠C．