Question

【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD⊥BC于点D，延长DO交⊙O于F，连接OC，AF．

（1）求证：△COD≌△BOD；

（2）填空：①当∠1＝　 时，四边形OCAF是菱形；

②当∠1＝　 时，AB＝2OD．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①当∠1＝30°时，四边形OCAF是菱形．②当∠1＝45°时，AB＝OD理由见解析.

【解析】

（1）由SSS即可证出结论；

（2）①要四边形OCAF是菱形，需OC＝CA＝AF＝OF，即△AOC为等腰三角形，∠2＝60°，那么∠1＝30°；

②由等腰直角三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴OC＝OB，

∵OD⊥BC于点D，

∴CD＝BD，

在△CDO和△BDO中，

∴△CDO≌△BDO（SSS）；

（2）解：当∠1＝30°时，四边形OCAF是菱形．

理由如下：

∵∠1＝30°，AB是直径，

∴∠BCA＝90°，

∴∠2＝60°，而OC＝OA，

∴△OAC是等边三角形，

∴OA＝OC＝CA，

又∵D，O分别是BC，BA的中点，

∴DO∥CA，

∴∠2＝∠3＝60°而OC＝OA＝AF．

∴△OAF是等边三角形，

∴AF＝OA＝OF，

∴OC＝CA＝AF＝OF，

∴四边形OCAF是菱形；

②当∠1＝45°时，

∵∠1＝45°，

∵OD⊥BC于点D，

∴△BOD是等腰直角三角形，

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∴