Question

当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，

m

n

）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=-x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上，若MC=

3

，AM=4

2

，求△MBC的面积．

Answer 1

考点：一次函数综合题,直角三角形的性质,勾股定理的应用

专题：新定义

分析：由m+n=mn变式为

m

n

=m-1，可知P（m，m-1），所以在直线y=x-1上，点A（0，5）在直线y=-x+b上，求得直线AM：y=-x+5，进而求得B（3，2），根据直线平行的性质从而证得直线AM与直线y=x-1垂直，然后根据勾股定理求得BC的长，从而求得三角形的面积．

解答：解：∵m+n=mn且m，n是正实数，
∴

m

n

+1=m，即

m

n

=m-1，
∴P（m，m-1），
即“完美点”B在直线y=x-1上，
∵点A（0，5）在直线y=-x+b上，
∴b=5，
∴直线AM：y=-x+5，
∵“完美点”B在直线AM上，
∴由

y=x-1 y=-x+5

解得

x=3 y=2

，
∴B（3，2），
∵一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=-x，而直线y=x-1与直线y=x平行，直线y=-x+5与直线y=-x平行，
∴直线AM与直线y=x-1垂直，
∵点B是直线y=x-1与直线AM的交点，
∴垂足是点B，
∵点C是“完美点”，
∴点C在直线y=x-1上，
∴△MBC是直角三角形，
∵B（3，2），A（0，5），
∴AB=3

2

，
∵AM=4

2

，
∴BM=

2

，
又∵CM=

3

，
∴BC=1，
∴S_△MBC=

1

2

BM•BC=

2

2

．

点评：本题考查了一次函数的性质，直角三角形的判定，勾股定理的应用以及三角形面积的计算等，判断直线垂直，借助正比例函数是本题的关键．