Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+$\frac{1}{2}$BP的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{37}$
• B． 6
• C． 2$\sqrt{17}$
• D． 4

Answer 1

分析 首先连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，则有$\frac{CD}{CP}$=$\frac{CP}{PB}$=$\frac{1}{2}$；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△PCD∽△BCP，即可推得$\frac{PD}{BP}$=$\frac{1}{2}$，AP+$\frac{1}{2}$BP=AP+PD，再应用勾股定理，求出AP+$\frac{1}{2}$BP的最小值为多少即可．

解答 解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，
，
∴$\frac{CD}{CP}$=$\frac{CP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，
又∵∠PCD=∠BCP，
∴△PCD∽△BCP．
∴$\frac{PD}{BP}$=$\frac{1}{2}$，
∴PD=$\frac{1}{2}$BP，
∴AP+$\frac{1}{2}$BP=AP+PD，
当点A，P，D在同一条直线时，AP+$\frac{1}{2}$BP的值最小，
在Rt△ACD中，
∵CD=1，CA=6，
∴AD=$\sqrt{{1}^{2}{+6}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
∴AP+$\frac{1}{2}$BP的最小值为$\sqrt{37}$．
故选：A．

点评 此题主要考查了最短路线问题，圆周角定理的应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．