Question

2．如图，?ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．
（1）求证：∠DAC=∠DBA；
（2）若点D、C是半圆的三等分点，求证四边形OBCD是菱形；
（3）求证：点P是线段AF的中点．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质可得∠CBD=∠DBA，由圆周角定理可得∠DAC=∠CBD，继而可得出结论；
（2）连接OD、OC、CD，根据点D、C是半圆的三等分点，可得$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$，CD∥AB，可得四边形OBCD为平行四边形，然后由OD=OB即可证得四边形OBCD是菱形；
（3）根据等角的余角相等，得出∠ADE=∠ABD，结合（1）可得PA=PD，再由等角的余角相等得出∠PDF=∠PFD，继而得出PD=PF，然后可得结论．

解答 解：（1）∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA；

（2）连接OD、OC、CD，
∵点D、C是半圆的三等分点，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$，CD∥AB，
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=60°，
∴△DOC为等边三角形，
∴CD=OD=OC=OB，
∵CD∥OB，
∴四边形OBCD为平行四边形，
∵OD=OB，
∴平行四边形OBCD为菱形；

（3）∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
又∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°且∠ADE=∠DAP，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是线段AF的中点．

点评 本题考查了圆的综合应用，涉及了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例，同弧所对的圆周角相等，注意数形结合思想运用．