Question

如图，AB是⊙O的直径，点C、E在

AB

上，DE⊥AB于D，AC与DE交于点M，连接AE，AM=EM，
（1）求证：点E是

AC

的中点；
（2）判断OD和BC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长ED交⊙O于点F，由DE⊥AB，AB是⊙O的直径，根据垂径定理可得AE=AF，由AM=EM，得出∠MAE=∠MEA，那么AF=CE，等量代换得到AE=CE，根据圆心角、弧、弦的关系得出点E是

AC

的中点；
（2）连接OE，交AC于H，由垂径定理的推论得出OH⊥AC，点H为AC中点，根据三角形中位线定理得到OH=

1

2

BC．由OA=OE，得出∠OAE=∠OEA，那么∠OAH=∠OED，利用AAS证明△OAH≌△OED，得出OD=OH，等量代换得到OD=

1

2

BC．

解答：（1）证明：如图，延长ED交⊙O于点F，
∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴AE=AF．
∵AM=EM，
∴∠MAE=∠MEA，
∴AF=CE，
∴AE=CE，
即点E是

AC

的中点；

（2）解：OD=

1

2

BC．理由如下：
连接OE，交AC于H，
∵点E是

AC

的中点，
∴OH⊥AC，点H为AC中点，
∴OH=

1

2

BC．
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OAH=∠OED．
在△OAH与△OED中，

∠OAH=∠OED ∠OHA=∠ODE OA=OE

，
∴△OAH≌△OED（AAS），
∴OD=OH，
∴OD=

1

2

BC．

点评：本题考查了垂径定理及其推论，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．