Question

6．如图，过△OAB的顶点O作⊙O，与OA，OB边分别交于点C，D，与AB边交于M，N两点，且CD∥AB，已知OC=3，CA=2．
（1）求OB的长；
（2）若∠A=30°，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）由OC=OD，CD∥AB，易证得△OAB是等腰三角形，继而求得答案；
（2）首先过点O作OE⊥MN于点E，连接OM，由∠A=30°，易求得OE的长，然后由勾股定理求得ME的长，再利用垂径定理的知识，求得MN的长．

解答 解：（1）∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵CD∥AB，
∴∠A=∠OCD，∠B=∠ODC，
∴∠A=∠B，
∴OB=OA=OC+CA=3+2=5；

（2）过点O作OE⊥MN于点E，连接OM，
∵∠A=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$，
∴在Rt△OEM中，ME=$\sqrt{O{M}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
∴MN=2ME=$\sqrt{11}$．

点评 此题考查了垂径定理、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．