Question

18．阅读材料：
材料1：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两根，则x₁，x₂与系数a，b，c有如下关系：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}}\\{{x}_{1}•{x}_{2}=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$，我们称之为韦达定理．
材料2：设a²+1=3a，b²+1=3b．且a≠b，则代数式$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的值为3
解：对于a²+1=3a，b²+1=3b两个方程．我们可以把a，b看作是一元二次方程x²-3x+1=0两个根，由韦达定理可得：a+b=3，ab=1
所以：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{b+a}{ab}$=$\frac{3}{1}$=3
回答下列问题：
（1）设a²-2a-1=0，b²-2b-1=0，且a≠b，则a+b=2
（2）设m²-2m+a=0，n⁴-2n²+a=0，且$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{m}$=-2．则a=-1
（3）已知a，b是正整数，且ab+a+b=9，a²b+ab²=20，求a²+b²的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用韦达定理，把a，b看作是一元二次方程x²-2x-1=0两个根求出答案；
（2）接利用韦达定理，把m，n²看作是一元二次方程x²-2x+a=0两个根求出答案；
（3）利用已知得出ab，a+b，看作是一元二次方程x²-9x+20=0两个根，进而得出答案．

解答 解：（1）对于a²-2a-1=0，b²-2b-1=0两个方程．
我们可以把a，b看作是一元二次方程x²-2x-1=0两个根，
由韦达定理可得：a+b=2；
故答案为：2；

（2）对于m²-2m+a=0，n⁴-2n²+a=0，两个方程．
我们可以把m，n²看作是一元二次方程x²-2x+a=0两个根，
由韦达定理可得：$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{m}$=$\frac{{n}^{2}+m}{{n}^{2}m}$=$\frac{2}{a}$=-2，
解得：a=-1；
故答案为：-1；

（3）∵ab+a+b=9，a²b+ab²=ab（a+b）=20，
∴设ab，a+b，看作是一元二次方程x²-9x+20=0两个根，由a，b是正整数，
解得：a+b=5，ab=4，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=25-8=17．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，正确应用韦达定理是解题关键．