Question

12．如图，在△ABC中，tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，∠ACB=45°，AD=8，AD是边BC上的高，垂足为D，BE=4，点M从点B出发沿BC方向以每秒3个单位的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以每秒1个单位的速度运动．以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点C时停止运动，点N也随之停止运动．设运动时间为t（秒）（t＞0）．

（1）当t为$\frac{2}{3}$s时，点H刚好落在线段AB上；当t为$\frac{18}{5}$s时，点H刚好落在线段AC上；
（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，求出S 关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；
（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连结PM，直接写出当t为何值时，△PMN的外接圆与AD相切．

Answer 1

分析 （1）如图1中，当H在AB上时，易知BM=3t，HM=4t，根据HM=MN列出方程即可解决问题；如图2中，当H在AC上时，根据HM=MN列出方程即可解决问题；
（2）分四种情形列出方程即可①如图3中，当0＜t≤$\frac{2}{3}$时，重叠部分是五边形MNGPK．②如图4中，当$\frac{2}{3}$＜t≤2时，重叠部分是正方形MNGH．③如图5中，当2＜t≤$\frac{18}{5}$时，重叠部分是四边形MNGH．④如图6中，当$\frac{18}{5}$＜t≤$\frac{14}{3}$时，重叠部分是五边形MNGKP；
（3）如图7中，设PM为直径的⊙O与AD相切于点K，OK交PN于J．根据OK=$\frac{1}{2}$PM，列出方程即可；

解答 解：（1）如图1中，当H在AB上时，

在Rt△ABD中，∵tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{4}{3}$，AD=8，
∴BD=6，
在Rt△ACD中，∵∠ACD=45°，
∴AD=DC=8，
易知BM=3t，HM=4t，
∵MN=4-3t+t=4-2t，
∴4t=4-2t，
∴t=$\frac{2}{3}$，
如图2中，当H在AC上时，

∵HM=CM=MN，
∴14-3t=3t-4-t，
∴t=$\frac{18}{5}$，
故答案为$\frac{2}{3}$s或$\frac{18}{5}$s．

（2）①如图3中，当0＜t≤$\frac{2}{3}$时，重叠部分是五边形MNGPK．

S=S_{正方形MNGH}-S_△PHK=（4-3t+t）²-$\frac{1}{2}$•[4-2t-4t]•$\frac{3}{4}$[4-2t-4t]=-$\frac{19}{2}$t²+2t+10．
②如图4中，当$\frac{2}{3}$＜t≤2时，重叠部分是正方形MNGH．

S=（4+t-3t）²=4t²-16t+16．
③如图5中，当2＜t≤$\frac{18}{5}$时，重叠部分是四边形MNGH．

S=（3t-4-t）²=4t²-16t+16．
④如图6中，当$\frac{18}{5}$＜t≤$\frac{14}{3}$时，重叠部分是五边形MNGKP．

S=S_{正方形MNGH}-S_△PHK=（2t-4）²-$\frac{1}{2}$•[（2t-4）-（14-3t）]²=-$\frac{17}{2}$t²+74t-146．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{19}{2}{t}^{2}+2t+10}&{（0＜t≤\frac{2}{3}）}\\{4{t}^{2}-16t+16}&{（\frac{2}{3}＜t≤\frac{18}{5}）}\\{-\frac{17}{2}{t}^{2}+74t-146}&{（\frac{18}{5}＜t≤\frac{14}{3}）}\end{array}\right.$．

（3）如图7中，设PM为直径的⊙O与AD相切于点K，OK交PN于J．

易知：JK=DN=t-2，OJ=$\frac{1}{2}$MN=t-2，PM=$\sqrt{P{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\sqrt{（14-4-t）^{2}+（2t-4）^{2}}$，
∵OK=$\frac{1}{2}$PM，
∴$\frac{1}{2}$$\sqrt{（10-t）^{2}+（2t-4）^{2}}$=t-2+t-2，
解得t=$\frac{14+16\sqrt{3}}{11}$或$\frac{14-16\sqrt{3}}{11}$（舍弃），
∴t=$\frac{14+16\sqrt{3}}{11}$s时，△PMN的外接圆与AD相切．

点评 本题考查几何变换综合题、圆、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．