Question

3．已知，△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC=30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE=4，EC=2．
（1）求证：AD=CD；
（2）若tanB=3，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）先由ED⊥AD，得出∠ADE=90°．解Rt△ADE，求出∠DEA=60°，DE=$\frac{1}{2}$AE=2，由EC=2，得到DE=EC，那么∠EDC=∠C，根据三角形外角的性质得出∠EDC+∠C=∠DEA=60°，那么求出∠C=30°=∠DAE，根据等角对等边得出AD=DC；
（2）过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFC=∠AFB=90°，AC=AE+EC=6．解Rt△AFC，得出AF=$\frac{1}{2}$AC=3．再解Rt△AFB，利用三角函数定义求出BF=$\frac{AF}{tanB}$=1，再根据勾股定理即可求出AB．

解答 （1）证明：∵ED⊥AD，
∴∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AE=4，
∴∠DEA=60°，DE=$\frac{1}{2}$AE=2，
∵EC=2，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠C．
又∵∠EDC+∠C=∠DEA=60°，
∴∠C=30°=∠DAE，
∴AD=CD；

（2）解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFC=∠AFB=90°．
∵AE=4，EC=2，
∴AC=6．
在Rt△AFC中，∠AFC=90°，∠C=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=3．
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，tanB=3，
∴BF=$\frac{AF}{tanB}$=1，
∴AB=$\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角函数定义，勾股定理，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．