Question

12．如图，线段AB的长为4，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD和BCE，连结DE，则DE长的最小值是2．

Answer 1

分析 设AC=x，BC=4-x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．

解答 解：设AC=x，BC=4-x，
∵△CD，△BCE均为等腰直角三角形，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-x），
∵∠ACD=45°，∠BCE=45°，
∴∠DCE=90°，
∴DE²=CD²+CE²=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$（4-x）²=x²-4x+8=（x-2）²+4，
∵根据二次函数的最值，
∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：2．
故答案为：2

点评 本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．