在平面直角坐标系中.点Q为坐标系上任意一点.某图形上的所有点在∠Q的内部.这时我们把∠Q的最小角叫做该图形的视角．如图1.矩形ABCD.作射线OA.OB.则称∠AOB为矩形ABCD的视角．(1)如图1.矩形ABCD.A.B.C.D.直接写出视角∠AOB的度数,的条件下.在射线CB上有一点Q.使得矩形ABCD的视角∠AQB=60°.求点Q的坐标,(3)如图2.⊙P的半径为1.点P.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．在平面直角坐标系中，点Q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在∠Q的内部（含角的边），这时我们把∠Q的最小角叫做该图形的视角．如图1，矩形ABCD，作射线OA，OB，则称∠AOB为矩形ABCD的视角．

（1）如图1，矩形ABCD，A（-$\sqrt{3}$，1），B（$\sqrt{3}$，1），C（$\sqrt{3}$，3），D（-$\sqrt{3}$，3），直接写出视角∠AOB的度数；
（2）在（1）的条件下，在射线CB上有一点Q，使得矩形ABCD的视角∠AQB=60°，求点Q的坐标；
（3）如图2，⊙P的半径为1，点P（1，$\sqrt{3}$），点Q在x轴上，且⊙P的视角∠EQF的度数大于60°，若Q（a，0），求a的取值范围．

分析（1）如图1中，设AB交y轴于E．首先证明OA=OB，在Rt△AEO中，求出∠OAE的度数即可．
（2）如图2中，连结AC，在射线CB上截取CQ=CA，连结AQ．只要证明△ACQ是等边三角形即可解决问题．
（3）如图3中，当点Q与点O重合时，设⊙P与y轴相切于点E，OF是⊙P的切线，可以证明∠EQF=60°，此时Q（0，0），如图4，根据对称性可知，当FQ⊥x轴时，∠EQF=60°，此时Q（2，0），由此即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，设AB交y轴于E．

∵A（-$\sqrt{3}$，1），B（$\sqrt{3}$，1），
∴OE⊥AB，EA=EB，
∴OA=OB，
在Rt△OAE中，tan∠OAE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°．

（2）如图2中，连结AC，在射线CB上截取CQ=CA，连结AQ．

∵AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，
∴AC=4，
∴∠ACQ=60°．
∴△ACQ为等边三角形，
即∠AQC=60°，
∵CQ=AC=4，
∴Q（$\sqrt{3}$，-1）．

（3）如图3中，当点Q与点O重合时，设⊙P与y轴相切于点E，OF是⊙P的切线，
∵P（1，$\sqrt{3}$），
∴PE=1，OE=$\sqrt{3}$，
∴tan∠POE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠POE=∠POF=30°
∴∠EQF=60°，此时Q（0，0），
如图4，根据对称性可知，当FQ⊥x轴时，∠EQF=60°，
∴Q（2，0），
∴a的取值范围是0＜a＜2．

点评本题考查圆综合题、等边三角形的判定和性质、矩形的性质、锐角三角函数，切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图形解决问题，属于中考压轴题．

练习册系列答案

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15．计算：（$\frac{1}{3}$）^-2-（-1）²⁰¹⁶-$\sqrt{25}$+（π-1）⁰．

12．如果x+y=4，那么代数式$\frac{2x}{{x}^{2}-{y}^{2}}$-$\frac{2y}{{x}^{2}-{y}^{2}}$的值是（　　）

19．一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的论证．表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：

实验者	德•摩根	蒲丰	费勒	皮尔逊	罗曼诺夫斯基
掷币次数	6 140	4 040	10 000	36 000	80 640
出现“正面朝上”的次数	3 109	2 048	4 979	18 031	39 699
频率	0.506	0.507	0.498	0.501	0.492

请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.50（精确到0.01）．