Question

9．如图1，AB∥CD，E是直线CD上的一点，且∠BAE=30°，P是直线CD上的一动点，M是AP的中点，直线MN⊥AP且与CD交于点N，设∠BAP=x°，∠MNE=y°．
（1）在图2中，当x=12时，∠MNE=102°；
        在图3中，当x=50时，∠MNE=40°；
（2）研究表明：y与x之间关系的图象如图4所示（y不存在时，用空心点表示，请你根据图象直接估计当y=100时，x=10或170．
（3）探究：当x=15或105时，点N与点E重合；
（4）探究：当x＞105时，求y与x之间的关系式．

Answer 1

分析 （1）当x=12时，根据三角形外角的性质可：∠MNE=90°+12°=102°；
当x=50°，根据直角三角形两锐角互余可得结论；
（2）由图象直接得出结论；
（3）分两种情况：①P在E的左侧，②P在E的右侧，根据平行线的性质和中垂线的性质可得结论；
（4）如图7，根据三角形外角和为360°列式可得结论．

解答 解：（1）如图2，∵AB∥CD，
∴∠BAP=∠APN=x°，
∵MN⊥AP，
∴∠PMN=90°，
∴∠MNE=∠PMN+∠APN=90°+x°，
当x=12时，∠MNE=（90+12）°=102°；
即y=102°，
如图3中，当x=50时，∠APN=50°，
∴y=∠MNE=90°-x°=90°-50°=40°，
故答案为：102°，40°；
（2）如图2，当0＜x＜30时，y=90+x，
此时，y=100时，90+x=100，x=10，
由图4可知：y=100时，还有x=170，
∴当y=100时，x=10或170，
故答案为：10或170；
（3）①P在E的左侧时，当N与E重合时，如图5，∠BAE=∠AEP=30°，
∵MN是AP的中垂线，
∴AE=PE，
∴∠AEM=∠PEM=15°，
∴∠EAP=90°-15°=75°，
∴∠BAP=x=30°+75°=105°，
②P在E的右侧时，当N与E重合时，如图6，
∵AB∥CD，
∴∠BAP=∠APE=x，
同理得：AE=PE，
∴∠EAM=∠EPM=x，
∵∠BAE=30°，
∴∠BAP=x=∠EAP=$\frac{1}{2}∠BAE$=15°，
综上所述，当x=15或105时，点N与点E重合；
故答案为：15或105；
（4）当x＞105时，如图7，
∵AB∥CD，
∴∠APC=∠BAP=x，
∵∠APC+∠MNE+∠AMN=360°，∠AMN=90°，
∴∠APC+∠MNE=360°-90°=270°，
∴∠MNE=270°-∠APC=270°-∠BAP，
即y=270-x．

点评 本题考查了平行线的性质、等腰三角形三线合一的性质、中垂线的性质、三角形外角定理、一次函数，属于动点问题的函数图象，有难度，并采用了分类讨论，数形结合思想解决问题．