题目内容

△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2．要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形（剪法如图1所示），图1中剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S₁；按照图1中的剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S₂（如图2），则S₂=；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S₃（如图3）；继续操作下去…则第10次剪取后，S₁₀=．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：根据题意，可求得S_△AED+S_△DBF=S_{正方形ECFD}=S₁=1，同理可得规律：S_n即是第n次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可答案．
解答：∵四边形ECFD是正方形，
∴DE=EC=CF=DF，∠AED=∠DFB=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴AE=DE=EC=DF=BF=EC=CF，
∵AC=BC=2，
∴DE=DF=1，
∴S_△AED+S_△DBF=S_{正方形ECFD}=S₁=1；
同理：S₂即是第二次剪取后剩余三角形面积和，
S_n即是第n次剪取后剩余三角形面积和，
∴第一次剪取后剩余三角形面积和为：2-S₁=1=S₁，
第二次剪取后剩余三角形面积和为：S₁-S₂=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =S₂，
第三次剪取后剩余三角形面积和为：S₂-S₃= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =S₃，
…
第十次剪取后剩余三角形面积和为：S₉-S₁₀=S₁₀= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了正方形与等腰直角三角形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，找到规律：S_n即是第n次剪取后剩余三角形面积和是解此题的关键．

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如图，△ABC是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=40cm．
问题1：将斜边上的高CD五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条．则这4张纸条的面积和是

cm²．
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△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为s₁（如图1）；在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s₂（如图2）；继续操作下去…；则第10次剪取时，s₁₀=

；第2012次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是

△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，图1中剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为S₁；按照这种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S₂（如图2），继续操作下去，则第n次剪取时，S_n=（　　）

如图1，△ABC是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=50cm．将斜边上的高CD五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条．若用这4张纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2，则正方形美术作品最大面积是

已知：△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠B=90°，AB=BC=1．
（1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来．
（2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为S₁，则S₁=

；在余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3），得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和记为S₂，则S₂=

；在余下的4个三角形中再按照小林设计的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和记为S₃；按照同样的方法继续操作下去…，第n次裁剪得到

个新的正方形，它们的面积的和S_n=