Question

△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，图1中剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为S₁；按照这种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S₂（如图2），继续操作下去，则第n次剪取时，S_n=（　　）

• A．

  1

  n

• B．

  1

  2n-1

• C．

  1

  2n

• D．

  3

  2

  -

  1

  2

  n

Answer 1

分析：根据题意，可求得S_△AED+S_△DBF=S_{正方形ECFD}=S₁=1，同理可得规律：S_n即是第n次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可答案．

解答：解：∵四边形ECFD是正方形，
∴DE=EC=CF=DF，∠AED=∠DFB=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C=45°，
∴AE=DE=EC=DF=BF=EC=CF，
∵AC=BC=2，
∴DE=DF=1，
∴S_△AED+S_△DBF=S_{正方形ECFD}=S₁=1；
同理：S₂即是第二次剪取后剩余三角形面积和，
S_n即是第n次剪取后剩余三角形面积和，
∴第一次剪取后剩余三角形面积和为：2-S₁=1=S₁，
第二次剪取后剩余三角形面积和为：S₁-S₂=1-

1

2

=

1

2

=S₂，
第三次剪取后剩余三角形面积和为：S₂-S₃=

1

2

-

1

4

=

1

4

=S₃，
…
第n次剪取后剩余三角形面积和为：S_n-1-S_n=S_n=

1

2n-1

．
故选B．

点评：本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质和学生数学方法--从特殊到一般的运用，并要求灵活运用正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等，难度程度适中．