Question

如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠BAC＝108°，点D在BC上，AD=BD，则AD的长是

         ，cosB的值是         (结果保留根号)。

Answer 1

；。

【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。

【分析】可以证明△ABC∽△BDA，设AD＝x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosB的值：

∵ 在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝108°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝＝36°。

∵AD=BD，∴∠ABD＝∠BAD＝36°。∴ △ABC∽△BDA。∴ 。

∵∠BAC＝108°，∠BAD＝36°，∴∠CAD＝72°。

又∵∠ACB＝36°，∴∠CDA＝72°。∴∠CAD＝∠CDA＝72°。∴CD=CA=1。

设AD＝x，则BD＝AD＝x，BC＝，

∴（舍去负值）。

∴AD＝x＝。