Question

如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AE⊥EF，BE=2，

（1）求证：AE=EF；

（2）延长EF交矩形∠BCD的外角平分线CP于点P（图2），试求AE与EP的数量关系；

Answer 1

（1）∵AE⊥EF，∴∠BEA+∠CEF=90°。

∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠C=90°。

∴∠BAE +∠BEA =90°。∴∠BA E=∠CEF。

又∵AB=DC=6，BC=8，BE=2，∴AB=EC=6。

∴△ABE≌△ECF（ASA）。

∴AE=EF。

（2）如图，在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME。

∴AM=CE。∴∠BME=45°。∴∠AME=135°。

∵CP是外角平分线，∴∠DCP=45°。∴∠ECP=135°。

∴∠AME=∠ECP。

由（1）知∠MA E=∠CEP，

∴△AME∽△ECP。∴。

∵AM=2，EC=3，∴。

∴AE与EP的数量关系是。

【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，外角平分线定义，相似三角形的判定和性质。