Question

15．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=12cm，AB=6$\sqrt{5}$cm，点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s（厘米/秒）的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（秒）表示时间（0≤x≤6），那么：
（1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm²；
（2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似？

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出BO的长，再用x表示出OQ及OP的长，根据三角形的面积公式即可得出x的值；
（2）分△OPQ∽△OAB与△OPQ∽△OBA两种情况进行分类讨论．

解答 解：（1）∵∠AOB=90°，
∴BO²=AB²-AO²，
∴BO=6，
在Rt△OPQ中，OQ=6-x，OP=2x，
∵△OPQ的面积为5cm²；
∴$\frac{1}{2}$OQ•OP=5，即$\frac{1}{2}$（6-x）•2x=5，解得x₁=1，x₂=5；

（2）当△OPQ∽△OAB时，$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OQ}{OB}$，即$\frac{2x}{12}$=$\frac{6-x}{6}$，解得x=3秒；
当△OPQ∽△OBA，$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OQ}{OA}$，即$\frac{2x}{6}$=$\frac{6-x}{12}$，解得x=$\frac{6}{5}$秒．
综上所述，当x=3秒或$\frac{6}{5}$秒时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似．

点评 本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．