Question

已知：如图在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠A=30°，DE=2，求AB的长；
（2）若∠EBC=30°，求∠A的度数．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）在Rt△ADE中，可得到AE=2DE，再结合勾股定理可求得AD，由条件可知AB=2AD，可求得AB的长；
（2）由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，可得∠A=∠EBA，且可得∠ABC=∠C，在△ABC中利用三角形内角和可求得∠A．

解答：解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴DE⊥AB，AB=2AD，
∵∠A=30°，
∴AE=2DE=4，
∴AD=2

3

，
∴AB=2AD=4

3

；
（2）∵DE为AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠A=∠EBA，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
又∵∠EBC=30°，
∴∠C=30°+∠EBA=30°+∠A，
又∵∠A+∠C+∠ABC=180°，
∴∠A+2（30°+∠A）=180°，
∴∠A=40°．

点评：本题主要考查线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．