Question

15．如图，在正方形ABCD，M、N是对角线AC上的两点，且AM=CN，连接DM并延长，交AB于点F，连接BN并延长，交DC于点E．连接BM、DN．
（1）求证：四边形MBND为菱形；
（2）求证：△MFB≌△NED．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于O，先证明四边形BMDN是平行四边形，再根据NM⊥BD即可证明．
（2）先证明四边形BFDE是平行四边形，得到∠BFM=∠DEN，再证明BM=DN，∠BMF=∠DNE即可解决问题．

解答 （1）证明：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AM=CN，
∴OM=ON，∵OB=OD，
∴四边形MBND是平行四边形，
∵MN⊥DB，
∴四边形MBND是菱形．

（2）证明：∵四边形MBND是菱形，
∴DM∥NB，BM=DN，∠DMB=∠DNB，
∴∠BMF=∠DNE，
∵BF∥DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠BFM=∠DEN，
在△MFB和△NED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFM=∠DEN}\\{∠NMF=∠DNE}\\{MB=DN}\end{array}\right.$，
∴△MFB≌△NED．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题．