Question

16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=20cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以2cm/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3cm/秒的速度向B点运动．已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．假设运动时间为t秒，问：
（1）是否存在某一时刻t，使四边形PQCD是平行四边形？存在，求出t值；不存在请说明理由．
（2）是否存在某一时刻t，使四边形PQCD是直角梯形？存在，求出t值；不存在请说明理由．
（3）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）存在，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形列出方程，解方程即可；
（2）存在，当APQB为矩形时，四边形PDQC为直角梯形，即AP=BQ；
（3）四边形PQCD不可能是菱形，根据邻边相等的平行四边形是菱形进行计算，比较邻边的长度得到答案．

解答 解：（1）存在；
如图1，当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，

即20-2t=3t，
解得，t=4，
故当t=4时，四边形PQCD为平行四边形；
（2）存在；
如图2，当AP=BQ时，四边形PQCD为直角梯形，

即2t=26-3t
解得：t=5.2，
故当t=5.2时，四边形PQCD为直角梯形；
（3）四边形PQCD不可能是菱形，
如图3，作DE⊥BC于E，

则四边形ABED为矩形，
∴DE=AB=8，EC=2，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
若四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD是平行四边形，
根据（1）得：t=4s，
∴PD=20-8=12（cm），
∴PD≠CD，
∴四边形PQCD不可能是菱形．

点评 本题考查的是直角梯形和矩形的性质以及平行四边形、菱形的判定，掌握对边平行且相等的四边形是平行四边形、邻边相等的平行四边形是菱形是就的关键．