Question

7．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=$4\sqrt{2}$，D为斜边BC上的一点（D与B、C均不重合），连结AD，把△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，连结DE，设BD=x．
（1）求证：∠DCE=90°；
（2）当△DCE的面积为6时，求x的值；
（3）当D在斜边BC上运动时（D与B、C均不重合）四边形ADCE的面积S是否随着x的变化而变化？若变化，请求出S与x之间的函数关系式；若不变，求出S的值．

Answer 1

分析 （1）△ABC是等腰直角三角形，△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，得到∠ABD与∠ACE相等，进而得到∠ACE+∠ACD=90°即证得；
（2）由直角三角形到△ACE≌△ABD，从而得直角三角形的面积公式而解得；
（3）根据旋转的性质得出△ABD的面积等于△ACE的面积，进而解答即可．

解答 解：（1）∵△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，
∴△ACE≌△ABD，
∴∠ABD=∠ACE，
又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC为斜边，
∴∠ABD+∠ACD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
即：∠DCE=90°；
（2）∵AC=AB=4$\sqrt{2}$，
∴BC²=AC²+AB²=$（4\sqrt{2}）^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}=64$，
∴BC=8，
∵△ACE≌△ABD，∠DCE=90°，
∴CE=BD=x，而BC=8，
∴DC=8-x，
∴Rt△DCE的面积为：$\frac{1}{2}$DC•CE=$\frac{1}{2}$（8-x）x．
∴$\frac{1}{2}$（8-x）x=6，
即-x²+8x-12=0．
解得x=2或x=6；
（3）因为△ACE≌△ABD，
所以△ABD的面积等于△ACE的面积，
所以四边形ADCE的面积S不变，
S=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×4\sqrt{2}$=16．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，及一元二次方程、二次函数等基础知识，考查等价转换思想，运算求解等能力和创新意识等．