Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点E，F分别在边BC、AC上（点F不与点A、C重合）EF∥AB．把△ABC沿直线EF翻折，点C与点D重合，设FC=x．
（1）求∠B的余切值；
（2）当点D在△ABC的外部时，DE、DF分别交AB于M、N，若MN=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；
（3）（下列所有问题只要直接写出结果即可）以E为圆心、BE长为半径的⊙E与边AC．
①没有公共点时，求x的取值范围；
②一个公共点时，求x的取值范围；
③两个公共点时，求x的取值范围．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）作AH⊥BC，垂足为H，先求出BH，再根据勾股定理求出AH，即可得出结果；
（2）先求出EC=

6

5

x，BE=12-

6

5

x，再求出ME=BE=12-

6

5

x，DM=DE-ME=

12

5

x-12，然后由EF∥MN，得出比例式

DM

DE

=

MN

EF

，即可求出y=2x-10，（5＜x＜10）；
（3）根据题意即可得出结果．

解答：解：（1）作AH⊥BC，垂足为H，如图1所示：
∵AB=AC=10，BC=12，
∴BH=CH=6，
∴AH=

102-62

=8，
∴cotB=

BH

AH

=

6

8

=

3

4

；


（2）如图2所示：
∵EF∥AB，
∴

EC

BC

=

FC

AC

，
即

EC

12

=

x

10

，
∴EC=

6

5

x，
∴BE=12-

6

5

x，
∵∠CEF=∠DEF，EF∥AB，
∴∠BME=∠DEF，∠CEF=∠B，
∴∠BME=∠B，
∴ME=BE=12-

6

5

x，
∴DM=DE-ME=

12

5

x-12，
∵EF∥MN，
∴

DM

DE

=

MN

EF

，
即

12 5 x-12

6 5 x

=

y

x

，
∴y=2x-10，（5＜x＜10）；
（3）①当0＜x＜

55

18

或

50

9

＜x＜10时，⊙E与边AC没有公共点；
②当x=

50

9

或

55

18

≤x＜5时，⊙E与边AC有一个公共点；
③当5≤x＜

50

9

时，⊙E与边AC有两个公共点．

点评：本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角函数以及圆的切线等知识；构造直角三角形求三角函数和由平行线得出比例式是解题的关键．