题目内容
8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，-2），B（3，4）（1）求抛物线的解析式，对称轴和顶点；
（2）设点B关于原点的对称点为C，记抛物线在A、B之间的部分为图象G（包括A、B两点）
①点D是抛物线对称轴上一动点，若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
②点E是图象G上一动点，动点E与点B，点C构成无数个三角形，在这些三角形中存在一个面积最大的三角形，求出这个三角形的面积，并求出此时点E的坐标．
分析 （1）直接把A点和B点坐标代入y=2x2+mx+n得m、n的方程组，再解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式，然后把解析式配成顶点式即可得到抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）①先利用关于原点对称的点的坐标特征得到C点坐标为（-3，-4），如图，而顶点M（1，-4），设直线BC交直线x=1于N点，用待定系数法求出直线BC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x，由于当点D在线段MN上运动时，直线CD与图象G有公共点，于是可得t的范围为-4≤t≤$\frac{4}{3}$；②根据三角形面积公式，△EBC的面积最大，则E点到BC的距离最大，而过点E平行于BC且与抛物线只有一个公共点时，点E到BC的距离最大，设过点E的直线解析式为y=$\frac{4}{3}$x+b，根据抛物线与直线的交点问题，通过方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}-4x-2}\\{y=\frac{4}{3}x+b}\end{array}\right.$有一组解可求出b和唯一解，从而得到E点坐标．
解答 解：（1）把A（0，-2），B（3，4）代入y=2x2+mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{n=-2}\\{18+3m+n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=2x2-4x-2，
因为y=2（x-1）2-4，
所以抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-4）；
（2）①C点坐标为（-3，-4），如图，顶点M（1，-4），直线BC交直线x=1于N点，
设直线BC的解析式为y=kx，把B（3，4）代入得3k=4，解得k=$\frac{4}{3}$，
所以直线BC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
当x=1时，y=$\frac{4}{3}$，则N（1，$\frac{4}{3}$），
因为当点D在线段MN上运动时，直线CD与图象G有公共点，
所以t的范围为-4≤t≤$\frac{4}{3}$；
②因为△EBC的面积最大，而BC为定值，所以E点到BC的距离最大，
所以过点E平行于BC且与抛物线只有一个公共点时，点E到BC的距离最大，
设过点E的直线解析式为y=$\frac{4}{3}$x+b，
方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}-4x-2}\\{y=\frac{4}{3}x+b}\end{array}\right.$有一组解，
消去y得到6x2-16x-6-3b=0，△=162-4×6×（-6-3b）=0，解得b=-$\frac{50}{9}$，x=$\frac{4}{3}$，
当x=$\frac{4}{3}$时，y=$\frac{4}{3}$×$\frac{4}{3}$-$\frac{50}{9}$=-$\frac{34}{9}$，
所以E点坐标为（$\frac{4}{3}$，-$\frac{34}{9}$）．
点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图形性质；会利用待定系数法求函数解析式；记住三角形面积公式．
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