Question

1．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA=8．
（1）求证：∠ECD=∠EDC；
（2）若tanA=$\frac{1}{4}$，求DE长；
（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）连结OD，根据等角的余角相等即可证明，只要证明∠ODA=∠OAD，∠EDC+∠ODA=90°，∠A+∠DCE=90°即可；
（2）由tanA=$\frac{OC}{OA}$，可知$\frac{OC}{8}=\frac{1}{4}$，推出OC=2，设DE=x，根据OD²+DE²=OE²，可得8²+x ²=（2+x）²解方程即可；
（3）求两个弓形的面积之差即可；

解答 （1）证明：连结OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠EDC+∠ODA=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠ACO+∠A=90°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A，
∴∠EDC=∠ACO，
又∵∠ECD=∠ACO，
∴∠ECD=∠EDC．

（2）解：∵tanA=$\frac{OC}{OA}$，
∴$\frac{OC}{8}=\frac{1}{4}$，
∴OC=2，
设DE=x，
∵∠ECD=∠EDC，
∴CE=x，
∴OE=2+x．
∴∠ODE=90°，
∴OD²+DE²=OE²，
∴8²+x ²=（2+x）²，x=15，
∴DE=CE=15．

（3）解：过点D作AO的垂线，交AO的延长于F，
当∠A=15°时，∠DOF=30°，DF=4，
${S_{弓形ABD}}=\frac{150π•64}{360}-\frac{1}{2}×8×4=\frac{80π}{3}-16$
当∠A=30°时，∠DOF=60°，DF=4$\sqrt{3}$，
${S_{弓形ABD}}=\frac{120π•64}{360}-\frac{1}{2}×8×4\sqrt{3}=\frac{64π}{3}-16\sqrt{3}$，
∴S=$（\frac{80π}{3}-16）-$$（\frac{64π}{3}-16\sqrt{3}）=\frac{16}{3}π+16\sqrt{3}-16$

点评 本题考查圆综合题、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、弓形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．